Pi sayısı

Pi sayısı

Mühendislik Fakültesinde öğrenciyken uzun bir zamanımı elime geçen bir Pi sayısı kitabı almıştı. Kitabı okuduktan sonra pi sayısı hakkında çok fazla araştırma yaptım. O dönemden kalan bazı notlarımı paylaşmak isterim.

Pi, Yunan alfabesinin 16. Harfi (π), bir çemberin çevresinin çapına oranını simgeler. Bu oran 3,141592+ olarak hesaplanır.

Matematikte belki de hiçbir sayı (oran, simge) pi kadar gizemli değildir. Ne var ki dört bin yıl boyunca matematikçileri şaşırtmış, herhangi bir sayıdan daha fazla ilgi görmüş, daha fazla beyin gücü tüketmiştir.

Peki neden pi bu kadar önemli ?

Pi günümüzde hesaplanan rakamı 51 milyar basamaktır. Gerçek çözümlerde pi için ilk yüz basamağına bile gerek yokken bilim insanları bu hesaplamayı neden yapmak istiyorlar? En titiz mühendis bile pi için yedi haneden fazlasını kullanmaz, fizikçiler 15 basamaktan ileri gitmezler. Öyleyse matematikçilerin tam olarak derdi nedir?

M.Ö. 2000-500 (İlk Çağlar), bir çember büyüdükçe, çağının ve çevresinin birbirine oranının sabit kaldığını ilk olarak ne zaman fark edildi bilmiyoruz ama Ahmes adlı Mısırlı katip M.Ö. 1650 yazdığı bilinen Rhind Papirüsü olarak adlandırılan yazıda, “Çapın 1/9’unu kes ve kalanın üstüne bir kare çiz, bu alan daire alanının aynısıdır” olarak belirtmiştir. Daire alanının pi olduğunu bildiğimize göre, Papirüse göre bu oran 3,16049’a eşittir.

Ahmes’in bulduğu bu oran doğru değerin %1’inden daha az bir hata taşıyordu. Bu oran o dönem için hayli doğru bir değerdi. 1000 yıl sonra ilk İbraniler ve Babilliler çevrenin çapa oranı için gerçeğe yakın olmayan 3 değerini kullanıyordu.

Bu tarihten sonra pi üzerine bir çok araştırma ve ortaya çıkan oranlar bulunmaktadır. Avrupa’da gördüğümüz oranlar ile doğu da yapılan çalışmalar da bazı oranlar ortaya atılmıştır.

Kısa bir pi kronolojisine göz atarsak;

M.Ö. 2000: Babilliler pi = 3, Mısırlılılar pi=3,1605
M.Ö. 1100: Çinliler pi = 3
M.Ö. 550: Tevrat geçen değer pi = 3
M.Ö. 3: Arkhimedes 96 kenarlı bir çokgen kullanarak 3 10/71 < pi <3 1/7 olduğunu buldu
M.S. 2: Claudius 3,14166 kullandı
M.S 3: Wang Fu pi  değerini 3,15555 aldı
…
1220: Leonardo de Pisa (Fibonacci) pi=3,141818
1665: Isaac Newton kalkülüsü keşfeder, pi değerini 16 haneye kadar hesaplar. Bu hesaplama Newton’un ölümünden sonra 1737’de yayınlanır.
…

1947: Ferguson bir hesap makinesi ile 808 hane hesaplar ve bu hesaplama yaklaşık 1 yılını alır
1949: ENIAC 2037 basamağı 70 saatte hesapladı
1959: IBM 704 16 bin basamağı hesapladı
…
1997: 51,5 milyar basamağı Hitachi SR 2201 ile 29 saatten az bir sürede hesaplandı

Pi’nin içinde neler var?

Pi’nin basamakları tamamen rastlantısal görünen biçimde sonsuzluğa doğru gider. On tane yüzü olan bir zarı atmaya benzer şekilde, bir sonraki atışta 3 veya 7 ya da sıfır gelme olasılığı 1/10’dur. Ancak Pi’nin rakamları anlamsız kozmik gürültü değildir. Pi içerisinde tek bir basamak değişirse örneğin 4 yerine 9 yazdık diyelim, artık o sayı pi değildir, oran değişmez, kesinlik gerektirir.

Eğer Pi’nin basamaklarını bir müzik notası bağı kurarsanız, hiçbir melodisi yoktur. Fakat yeterinde uzun dinlerseniz bir melodi işittiğinizi düşünürsünüz.

Her basamağa bir renk verirseniz, sanki gözlerinizin önünde belli belirsiniz bir …. hadi canım öyle bir şey orada yok heralde!

Bir olasılıkla eğer birkaç milyar basamak hesaplanırsa, bu ele geçmeyen sayıyı ve ardından çevremizdeki evreni anlamımıza yardım edebilecek bir örüntü görmeye başlarız.

Davacı Kaliforniya Eyaleti ile Davalı Orenthal James Simpson
(Bu dava 26 Temmuz 1995’de O.J. Simpson davasında, savunma avukatı Robert Blasier ile FBI Özel Ajanı Roger Martz arasında geçmiştir.)

S. Çapı beş milimetre olan bir dairenin alanını hesaplayabilir misiniz?
Y. Yani yapabilirim. Ben … şuan ne olduğunu bilmiyorum.
S. Pekala, bir dairenin alanının formülü nedir?
Y. Pi R kare.
S. Pi nedir?
Y. Hey! Siz beni gerçekten imtihan mı ediyorsunuz ? 2.12! 2.12…
Yargıç Ito: 3.1214’e ne dersin?
S. Pi’nin ne olduğunu, bir bilim adamının bilmesi gereken türde bir şey değil mi?
Y. Pi’yi sanırım liseden beri kullanmadım.
S. 3,12’yi bir deneyelim.
Y. Öyle miydi ? Bunun daha kolay bir yolu var.
S. 3,14’ü deneyelim. Yarı çap ne olur?
Y. Çapın yarısı olmalı 2,5.
S. 2,5 kare tamam mı?
Y. Tamam
S. Sayın yargıç, bir hesap makinesi bulabilir miyiz?
[Kısa bir ara verilir]
S. Hesap makinesi kullanabilir misiniz?
Y. Evet, sanırım.
S. Bana pi çarpı 2,5’un karesinin kaç olduğunu söyleyin
Y. 19
S. 19’u yazın isterseniz. Milimetre kare tamam mı?
Y. 1,9
S. Büyüklüğü, saplamak için size gereken kumaş parçasının büyüklüğünden, minimum büyüklüğünden 2 çarpanı kadar yanlış hesapladınız değil mi?
Y. Yapıp yapmadığımı bilmiyorum. Biraz farklı hesapladım. Bunu kullanmadım.
S. Peki başka türlü hesaplama yöntemi alanı değiştirir mi?
Y. Bu benim göz kararı yaptığım tahmindir, onu bulmak için bilimsel matematik kullanmadım.

Sonsöz

Pi’nin gizemi çember ya da eğrilerin ölçüsü ile sınırlı değildir. Pi’yi bilmeden bile çember yapılabilir.

Pi ne kadar uğraşılsa da sonuçta bilinemeyen olarak kalmaya devam edecektir. İnternet üzerindeki bilgisayarları birleştirsek, en az güç gerek duyduğu gece saatlerinde çalışarak bu yakalanamayan sayının trilyonlarca basamağını hesaplamaktan söz edilir. Fakat ne kadar çok bilgisayar kullanırsak kullanalım ya da ne kadar zaman harcanılırsa harcansın, ölçülebilenle yetineceğiz.

Pi araştırmacısı P. Borwein pi’nin 10 üzeri 51’nci basamağını hiçbir zaman bilemeyeceğimizi ön görüyor. Zaten çevremizdeki atomların sayısı yaklaşık 10 üzeri 78’dir. Pi sayısı bu rakamın bile ötesine varmaktadır.

En uzun pi hesaplama rekoru Fabrice Bellard tarafından hesaplanmıştı ve 2 trilyon 700 milyar rakamdan oluşr. Pi sayısı 1.24 trilyonuncu basamağına kadar hesaplandı ki bu hesaplanan rakamı bile bilgisayara yazmak için 310 milyon sayfa, 2.4 TB harddisk yeri gerekti. Yani 1 milyon mp3 kadar.

Pi her zaman gizemini ve derinliğini koruyacaktır.

Pi içerisinde hayat hikayemiz vardır. Yani doğum gününüzü, telefon numaralarınızı, ya da rastgele yazacağınız herhangi bir sayı pi’nin bir yerlerinde vardır. Daha da ileri gidelim. Harflerle sayıları birbirine dönüştüren bir kod üretildiğinde kuramsal olarak her hangi kişinin veya kurumun adını, bir sözü, cümleyi, hatta bir kitabı pi içinde bulabilirsiniz.

Son ilginç bilgi, doğada da pi değeri vardır. Bilindiği üzere ovalarda akarsular kıvrıla kıvrıla akar. Mendereslerin oluşması ile nehrin uzunluğu iki türlü ölçülmektedir. Bir kaynaktan döküldüğü noktaya olan kuş uçuşu düz uzunluktur. Diğeri ise gerçekten suyun gittiği eğri mesafedir. Amazon’dan Thames’e birçok nehir için bu oranı hesaplayan Hans-Henrik Stolum ortalama 3,14 değerini bulmuş.

Pi’nin müziği: https://www.youtube.com/watch?v=OMq9he-5HUU

Daha fazla bilgi. Pi üzerine yapılmış bir film önermek isterim https://www.imdb.com/title/tt0138704/